El mundo de las matemáticas suele evocar imágenes de pizarras repletas de ecuaciones y largos cálculos abstractos. Pero en el caso de Susanna Heikkilä, la solución a un problema que llevaba cuatro décadas sin respuesta también pasó por el crochet. Un patrón de tejido, una esfera de lana y un tablero de ajedrez de tela le ayudaron a ilustrar una teoría clave en el estudio de las variedades cuasiregularmente elípticas, una rama de la topología diferencial.
Este avance no es menor: en 1981, el prestigioso matemático Misha Gromov, ganador del Premio Abel (considerado el “Nobel” de Matemáticas), planteó una pregunta fundamental sobre la existencia de ciertos mapeos geométricos en dimensiones superiores. Durante 40 años, la incógnita quedó sin resolver, hasta que Heikkilä, en colaboración con el profesor Pekka Pankka, consiguió demostrar una clasificación clave para estas estructuras matemáticas.
¿Qué son las variedades cuasiregularmente elípticas?
Para entender la importancia de este hallazgo, hay que hablar de las variedades cuasiregularmente elípticas, que pueden considerarse como formas multidimensionales que se deforman sin perder ciertas propiedades geométricas. En términos simples, son estructuras que admiten mapeos cuasiregulares, un tipo especial de transformación matemática que preserva la forma general de un objeto, pero permite cierta distorsión.
El estudio de estos mapeos ha sido clave en la geometría y la topología, pues ayudan a comprender cómo se comportan los espacios en dimensiones superiores. Durante décadas, los matemáticos se preguntaban si todas las variedades cerradas y simplemente conexas en cuatro dimensiones podían admitir este tipo de mapeos desde un espacio euclidiano. Fue precisamente la pregunta que Gromov dejó abierta en 1981.
La respuesta llegó en dos partes: primero, en 2019, el matemático Eden Prywes demostró que algunas variedades no podían ser cuasiregularmente elípticas. Y ahora, en 2025, el trabajo de Heikkilä y Pankka ha permitido clasificar cuáles sí lo son mediante herramientas algebraicas avanzadas.
La clave estaba en la cohomología de De Rham
El avance de Heikkilä se basa en el uso de la cohomología de De Rham, una teoría matemática que permite estudiar la forma de los espacios usando el análisis diferencial. En su artículo, publicado en la prestigiosa Annals of Mathematics, Heikkilä y Pankka demostraron que si una variedad es cuasiregularmente elíptica, entonces su cohomología de De Rham debe cumplir una propiedad algebraica específica.
En palabras de Pankka: “Para que una variedad cerrada sea cuasiregularmente elíptica, las intersecciones de sus subvariedades deben poder realizarse en el álgebra exterior de un espacio euclidiano”. Esto permitió clasificar por completo las variedades cuasiregularmente elípticas en cuatro dimensiones, resolviendo así la cuestión planteada por Gromov.
Concretamente, demostraron que estas variedades son precisamente las que resultan de hasta tres sumas conexas de productos de esferas de dos dimensiones, o combinaciones de espacios proyectivos bidimensionales.
Cuando el crochet ayuda a explicar las matemáticas
Uno de los aspectos más llamativos del trabajo de Heikkilä es cómo logró visualizar estas estructuras matemáticas complejas. Durante la defensa de su tesis, utilizó un tablero de ajedrez tejido y una esfera de crochet para representar cómo se comportan los mapeos cuasiregulares.
El modelo ilustra lo que se conoce como el mapeo de Alexander, una transformación que lleva el plano a una esfera. Cuando se curva la cuadrícula alrededor de la bola y se cosen los colores correctos, aparecen huecos entre los cuadrados, mostrando cómo se deforma el espacio bajo estas funciones matemáticas.
Esta manera de ilustrar conceptos matemáticos con herramientas físicas es poco común, pero extremadamente útil para hacer accesible la teoría a un público más amplio. Y en este caso, permitió que la defensa de su tesis se convirtiera en algo memorable y visualmente impactante.
Un camino brillante en la matemática finlandesa
La trayectoria de Susanna Heikkilä no estuvo siempre marcada por la certeza de dedicarse a las matemáticas. En secundaria, su talento fue reconocido por su profesor, quien la animó a estudiar la disciplina en la Universidad de Helsinki. Fue en un curso de topología, bajo la enseñanza de Pekka Pankka, cuando encontró su verdadera vocación.
Su tesis doctoral ha sido excepcional, no solo por la calidad de los resultados, sino porque uno de sus artículos fue aceptado en Annals of Mathematics, una de las revistas más prestigiosas en el campo. Según Pankka, no recuerda otro caso de una tesis doctoral finlandesa con un artículo publicado en esta revista.
En 2025, Heikkilä comenzó su carrera como investigadora postdoctoral en la Universidad de Jyväskylä, con el objetivo de seguir explorando las geometrías cuasiregulares y los problemas abiertos en el campo.
Referencias
- Susanna Heikkilä y Pekka Pankka, De Rham algebras of closed quasiregularly elliptic manifolds are Euclidean, Annals of Mathematics (2025). DOI: 10.4007/annals.2025.201.2.3.
Cortesía de Muy Interesante
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