Durante más de seis décadas, una pregunta matemática había permanecido sin respuesta. No era una de esas cuestiones con aplicaciones inmediatas, como optimizar un algoritmo o diseñar un nuevo material. Era, más bien, un problema profundo y abstracto, pero cuya resolución se había convertido en una especie de símbolo: una frontera del conocimiento que nadie había podido traspasar. El llamado “problema del invariante de Kervaire” tenía en vilo a la comunidad matemática desde 1958. Hasta ahora.
Un equipo de matemáticos chinos —Weinan Lin, Guozhen Wang y Zhouli Xu— ha demostrado que sí existen variedades diferenciables con invariante de Kervaire uno en la dimensión 126. Esto resuelve el último caso abierto del problema. Tal como escriben en su trabajo (en preprint), “establecemos la existencia de variedades suaves enmarcadas con invariante de Kervaire uno en la dimensión 126, resolviendo así el caso final del problema del invariante de Kervaire”.
Un problema que marcó generaciones de matemáticos
La historia se remonta a los años cincuenta, cuando el matemático suizo Michel Kervaire propuso una forma de clasificar ciertos objetos geométricos muy especiales llamados “variedades diferenciables”:
- Una “variedad“, en matemáticas, es una especie de superficie que puede tener muchas más dimensiones de las que vemos en nuestro mundo.
- Y si es “diferenciable“, significa que se puede hacer cálculo sobre ella: tiene una estructura suave, sin bordes abruptos, donde se pueden definir cosas como curvas, tangentes o derivadas.
Kervaire descubrió que a estas formas se les podía asignar un número muy simple: 0 o 1. Ese número —que hoy se conoce como invariante de Kervaire— indicaba si:
- La variedad se comportaba como una esfera normal (valor 0)
- Si escondía una estructura más extraña (valor 1).
Era una forma de detectar, con un único número, si esa forma de muchas dimensiones tenía algo especial.
Con los años, se descubrió que solo en ciertas dimensiones existían variedades con invariante uno. Se confirmaron los casos de las dimensiones 2, 6, 14, 30 y 62. El caso de la dimensión 126 quedó como el último en disputa. La pregunta era sencilla de enunciar: ¿existe una variedad diferenciable enmarcada con invariante de Kervaire uno en la dimensión 126? Pero la respuesta, durante décadas, fue inalcanzable.
No se trataba solo de una curiosidad. El problema estaba conectado con otras ramas profundas de las matemáticas, como la teoría de homotopía y la topología de esferas exóticas. Resolverlo significaba cerrar un capítulo importante de la topología algebraica.
Qué significa tener “invariante de Kervaire uno”
Puede parecer una rareza hablar de variedades de 126 dimensiones. Pero en topología, estas construcciones abstractas son el pan de cada día. El invariante de Kervaire es una propiedad que puede adoptar solo dos valores: cero, si la variedad se puede transformar en una esfera; uno, si no.
Este valor se obtiene a partir de una operación matemática que involucra el llamado “refinamiento” cuadrático del emparejamiento de intersección en cohomología con coeficientes en el campo F₂ (el de dos elementos). Es un concepto técnico, pero la idea es que mide cierta “asimetría” o “torcedura” en la estructura de la variedad.
Lo interesante es que, cuando ese número es uno, estamos ante una estructura especial: algo que no se puede suavizar para parecerse a una esfera común, aunque se le parezca en muchos aspectos.
Un avance que cierra el círculo
El trabajo publicado por los tres autores establece, con rigor matemático, que la respuesta es afirmativa: sí existe una variedad diferenciable enmarcada con invariante de Kervaire uno en la dimensión 126.
Establecemos la existencia de variedades suaves enmarcadas con invariante de Kervaire uno en la dimensión 126, resolviendo así el caso final del problema del invariante de Kervaire
Weinan Lin, Guozhen Wang y Zhouli Xu.
Este resultado, junto a los trabajos anteriores de Browder, Mahowald–Tangora, Barratt–Jones–Mahowald y Hill–Hopkins–Ravenel, completa el mapa de dimensiones donde puede existir este tipo especial de variedades: son exactamente las dimensiones 2, 6, 14, 30, 62 y 126.
Hasta este trabajo, no se conocía ninguna variedad explícita con invariante uno en las dimensiones 62 ni 126, aunque se sabía que un 50 % de las clases de cobordismo en esas dimensiones debía tenerlo. Ahora, con esta demostración, se confirma que el caso de 126 es real.
La clave: el elemento h26 y las secuencias espectrales
El núcleo de la demostración está en una herramienta matemática muy potente llamada “sucesión espectral de Adams”. Es una técnica que permite descomponer un problema complejo en pasos más pequeños y progresivos, organizados en lo que los matemáticos llaman “páginas”, como si se tratara de hojas sucesivas de cálculo.
Esta técnica se usa para estudiar los llamados grupos de homotopía estables, que son una forma de entender cuántas maneras distintas hay de deformar una figura en otra sin romperla ni pegarle partes nuevas. Es una idea que proviene de la topología, donde lo que importa no son las medidas o los ángulos, sino la estructura general: si algo tiene agujeros, si se puede estirar o contraer, si se puede doblar sin romper.
En el contexto del problema de Kervaire, los matemáticos buscan ciertos patrones —llamados “elementos”— dentro de estas sucesiones. Uno en particular, llamado h26, era el último de su tipo del que no se sabía si podía “sobrevivir” hasta el final del proceso. Si lo hacía, significaba que una variedad de 126 dimensiones con invariante de Kervaire uno realmente podía existir. Y eso es precisamente lo que los autores demostraron.
El avance principal es que h26 es lo que se llama un “ciclo permanente” en la sucesión espectral de Adams, es decir, sobrevive hasta el final del proceso de cálculo, sin ser eliminado por ninguna de las reglas internas de la estructura.
¿Y por qué importa esto? Porque, según el teorema de Browder, si uno de estos elementos especiales (como h26) sobrevive, entonces existe una variedad diferenciable con invariante de Kervaire uno en la dimensión correspondiente. En este caso, la dimensión es 126.
El teorema de Browder, formulado en los años setenta, establecía una condición precisa: que un cierto tipo de elemento (llamado h2j) sobreviviera en la sucesión espectral era equivalente a la existencia de una de estas variedades excepcionales. Durante años, esa fue la vía principal para buscar respuestas al problema de Kervaire. Pero faltaba saber si h26 —el caso correspondiente a la dimensión 126— realmente sobrevivía.
Ahora sabemos que sí. Y eso cierra, por fin, un capítulo que llevaba más de 60 años abierto.
Matemáticas asistidas por computadora… y mucho más
Este resultado es el fruto de varias estrategias combinadas: cálculos computacionales complejos usando álgebra de Steenrod, métodos sintéticos motivados por la teoría homotópica moderna y razonamientos inductivos que desarman las posibilidades una por una.
Una de las novedades de este trabajo es el uso intensivo de programas informáticos para calcular propiedades de estructuras algebraicas muy complejas. Los autores usaron herramientas basadas en bases de Gröbner no conmutativas, que permiten calcular extensiones y diferenciales con precisión mecánica.
Pero no todo fue computacional. También se desarrollaron argumentos ad hoc y se aplicaron técnicas de deformación sintética, comparación con secuencias espectrales motivicas, y lo que los autores llaman la regla de Leibniz generalizada y el truco de Mahowald generalizado. Todo ello permitió reducir las posibles obstrucciones a una sola, que finalmente descartaron.
Con ello, cerraron una de las páginas más largas de las matemáticas topológicas del siglo XX… en pleno 2025.
Referencias
Cortesía de Muy Interesante
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