En Cuando el espacio se curva (Pinolia, 2025), Steve Nadis y Shing-Tung Yau trazan una historia fascinante sobre cómo las matemáticas y la geometría han moldeado nuestra comprensión de la gravedad. Desde la revolución conceptual de Einstein hasta los más recientes desarrollos en teoría de cuerdas y geometría algebraica, el libro revela cómo el lenguaje abstracto de las ecuaciones puede anticipar fenómenos físicos con sorprendente precisión. Es una obra que invita tanto al lector curioso como al especialista a redescubrir la elegancia de las ideas que dan forma al universo.
Para celebrar su lanzamiento, compartimos de forma íntegra el capítulo 8, titulado “La búsqueda de la unificación“, donde se explora el intento histórico —aún inconcluso— de reconciliar gravedad y mecánica cuántica. Desde las intuiciones de Einstein hasta las implicaciones geométricas de la teoría de cuerdas, este capítulo condensa algunos de los debates más profundos de la física moderna.
La búsqueda de la unificación (Steve Nadis y Shing-Tung Yau)
Al acercarnos al final de esta saga, resulta instructivo reflexionar sobre nuestra posición actual y hacia dónde nos han conducido nuestras exploraciones de la relatividad general. El 14 de septiembre de 2015, casi exactamente cien años después de que Albert Einstein revelara las ecuaciones de campo que sintetizan nuestro conocimiento de la gravitación en una sola línea, LIGO confirmó la existencia de las ondas gravitacionales. Esta detección de 2015 también constituyó la evidencia más sólida y directa obtenida hasta entonces sobre la existencia real de los agujeros negros. La solución de Karl Schwarzschild a las ecuaciones de Einstein en 1916, respaldada por los teoremas matemáticos de Roy Kerr y Roger Penrose medio siglo después, ha consolidado la noción de que el interior de un agujero negro contiene una singularidad: una región donde nuestra concepción del espacio-tiempo se quiebra y donde las predicción es de la teoría de Einstein dejan de ser válidas. En otras palabras, el descubrimiento de LIGO supuso un triunfo extraordinario para la relatividad general, al tiempo que proporcionaba indicios prácticamente irrefutables sobre la incompletitud, así como algunas insuficiencias específicas, de esa misma teoría.
Los físicos afirman que, por consiguiente, se requiere una teoría nueva y de mayor alcance, que ofrezca una descripción más fundamental del espacio-tiempo. Esta nueva teoría debería preservarlos logros de la relatividad general (del mismo modo que la relatividad general preservó los aciertos dela gravedad newtoniana), pero también funcionar adecuadamente y de manera fiable en circunstancias tan extremas como las que se encuentran en el interior de los agujeros negros o, como señaló Stephen Hawking, cerca de la singularidad del big bang, donde se sabe que la relatividad general pierde su validez. La teoría unificada que los investigadores han buscado durante largo tiempo se denomina frecuentemente gravedad cuántica, lo que indica la necesidad de integrar las leyes de la mecánica cuántica con la relatividad general, teorías exitosas por derecho propio que padecen una desafortunada incompatibilidad.
El propio Einstein emprendió la búsqueda de una teoría unificada más amplia pocos años después de publicarsus ahora célebres ecuaciones de campo, aunque por razones diferentes, aunque igualmente convincentes. Como hemos analizado, no le preocupaba especialmente la posibilidad de que existieran objetos con singularidades porque no creía que tales objetos pudieran existir realmente, sino que los consideraba construcciones matemáticas sin fundamento en la realidad física. Sin embargo, a Einstein le inquietaba el hecho de que coexistieran, a principios del siglo xx, dos teorías distintas en física, el electromagnetismo y la relatividad general, cada una de las cuales regía ciertos aspectos del comportamiento de los objetos y las partículas en nuestro universo, y cuyos alcances se extendían infinitamente, con una disminución proporcional a la misma relación inversa al cuadrado. Para él (y, ciertamente, para muchos otros también) resultaría más natural, así como más satisfactorio desde el punto de vista estético, que todo esto se integrara dentro de un marco unificado. Además, la conservación de la carga que existe en el electromagnetismo presentaba paralelismos con la conservación de la energía y el momento que se observan en la relatividad general y la mecánica clásica. No obstante, las dos teorías parecían funcionar de forma independiente e incluso se regían por diferentes conjuntos de principios: por ejemplo, mientras que la gravedad poseía una interpretación geométrica en su esencia, elelectromagnetismo aún no se había formulado de esa manera.
Esta dicotomía no convencía a Einstein, que se propuso encontrar una teoría única que uniera perfectamente el electromagnetismo y la gravitación para colocarlos bajo un marco conceptual común. Como explicó en su discurso del Premio Nobel de 1923: “La mente que se esfuerza por unificar la teoría no puede conformarse con que existan dos campos que, por su naturaleza, son bastante independientes. Se busca una teoría matemática unificada en la que el campo gravitatorio y elelectromagnético se interpreten únicamente como componentes o manifestaciones diferentes del mismo ámbito uniforme”.
Se dedicó a este empeño, prácticamente en exclusiva, durante el resto de su vida, por lo que perdió de vista los principales avances que ocurrían a su alrededor, especialmente en el ámbito de la física cuántica. Según la mayoría de los relatos, no fue una empresa exitosa. “La búsqueda de Einstein fue principalmente una sucesión de pasos en falso, caracterizados por una complejidad matemática creciente, que comenzó con su reacción a los pasos en falso de otros”, escribió su biógrafo Walter Isaacson. Einstein, según el físico galardonado con el Premio Nobel David Gross, emprendió “una búsqueda inútil de una teoría unificada de la física”. La Sociedad Americana de Física resumió la trayectoria profesional de Einstein de manera similar: “Tras haberse hecho célebre por varios avances brillantes en física, como el movimiento browniano, el efecto fotoeléctrico y las teorías especial y general de la relatividad, Albert Einstein dedicó los últimos treinta años de su vida a la búsqueda infructuosa de una manera de combinar la gravedad y el electromagnetismo en una única teoría elegante”. Es ta interpretación resulta razonablemente precisa, aunque cabría discrepar, con motivo, acerca del uso del término infructuosa.
“La búsqueda de Einstein fue principalmente una sucesión de pasos en falso, caracterizados por una complejidad matemática creciente, que comenzó con su reacción a los pasos en falso de otros”
Walter Isaacson
Es cierto que Einstein no tuvo éxito en su esfuerzo de más de tres décadas. También es cierto que aún no se ha logrado la unificación completa de la gravedad con las otras tres fuerzas fundamentales que ahora se conocen: electromagnética, débil y fuerte. No obstante, se puede argumentar de manera convincente que la búsqueda moderna y todavía en curso de la unificación, en la que Einstein desempeñó un papel fundamental como impulsor, ha producido una cosecha apreciable de “frutos”.
Su primer artículo sobre una teoría del campo unificado se publicó en 1922, aunque ya llevaba varios años reflexionando sobre el problema. Resultaría difícil calificar ese artículo como un gran logro. “Aún no había llegado el momento de la unificación”, como señaló posteriormente Abraham Pais. Hasta ese momento solo se habían identificado dos de las cuatro fuerzas fundamentales conocidas: la gravedad y el electromagnetismo. Las teorías que describían las fuerzas nucleares débiles y fuertes tardarían más de una década en desarrollarse. Y no existe un método infalible para unificar lo que no se conoce y ni siquiera se puede concebir.
No obstante, el objetivo establecido por Einstein merecía la pena, aunque su momento no fue propicio, sino, como ahora sabemos, algo prematuro. “La unificación de las fuerzas es ahora ampliamente reconocida como una de las tareas más importantes de la física, quizás, la más importante”, añadió Pais. De hecho, como afirmó Gross, el objetivo de unir la gravedad con las otras fuerzas “es el tema central de la física fundamental actual”. E incluso si Einstein no tuvo éxito, suinfluencia no podría haber sido mayor, añadió Gross. “Para todos los físicos, pero especialmente para aquellos que trabajan en áreas especulativas, Einstein sigue siendo una inspiración por su visión de futuro y su inquebrantable determinación y coraje”.
El desafío que asumió Einstein ha constituido un gran estímulo para la ciencia, parte de un impulso continuo, que se remonta a épocas mucho más tempranas, para concebir un “sistema de pensamiento”, como él lo expresó, que pudiera explicar por sí solo una gama más amplia de fenómenos. En la década de 1660, por ejemplo, Isaac Newton comenzó a desarrollar una teoría de la gravedad que demostraba que la fuerza terrestre, que hacía que las manzanas cayeran de los árboles, era la misma que la fuerza celeste que mantiene a la Luna en órbita alrededor de la Tierra y a los planetas del sistema solar en órbita alrededor del Sol. A finales del siglo xviii (como explicamos en el capítulo 3), Joseph-Louis Lagrange demostró que varias leyes físicas, incluidas las leyes del movimiento de Newton (de las que se derivó su teoría de la gravedad), podían surgir de un único principio unificador: el principio de acción. Y en la década de 1860, James Clerk Maxwell (basándose en los experimentos anteriores de Michael Faraday) elaboró una teoría del electromagnetismo que describía el comportamiento no solo de la electricidad y del magnetismo, sino también de la luz en todas sus manifestaciones y frecuencias.
Einstein se unió a esa misma tradición y buscó explicaciones que abarcaran una gama cada vez más amplia defenómenos. De hecho, ya había reflexionado en esta línea en 1917, cuando escribió al matemático Felix Klein y afirmó que no tenía ninguna duda de que la descripción de la gravedad que surge de la relatividad general “tendrá que ceder ante otra, por razones que en la actualidad aún no podemos vislumbrar. Creo que ese proceso de profundización de la teoría no tiene límites”. Einstein desarrolló este tema cuando intervino, años después, en la Universidad de Columbia: “Buscamos el sistema de pensamiento más simple posible que conecte los hechos observados. “Por sistema más simple no nos referimos a aquel que el estudiante asimilará con menos dificultad, sino al que contiene el menor número posible de postulados o axiomas mutuamente independientes”.
A falta de datos experimentales en los que apoyarse, los esfuerzos de Einstein en esta empresa siguieron elcamino de las matemáticas, un giro de ciento ochenta grados respecto a su postura anterior, cuando rivalizaba intensamente con Hilbert para obtener las ecuaciones de la relatividad general. Einstein expuso su nuevo enfoque en una conferencia que impartió en 1933 en la Universidadde Oxford: “Nuestra experiencia hasta la fecha justifica nuestra certeza de que en la naturaleza se refleja el ideal de la simplicidad matemática. Estoy convencido de que la construcción matemática pura nos permite descubrir los conceptos y las leyes que los conectan, lo que nos proporciona la clave paracomprender los fenómenos naturales. La experiencia puede orientarnos, por supuesto, pero el principio verdaderamente creativo reside en las matemáticas. En cierto sentido, por tanto, sostengo que es verdad que el pensamiento puro tiene capacidad para comprender lo real, como soñaban los antiguos“.
En una carta dirigida a Einstein cuatro años antes, Wolfgang Pauli manifestó la consternación que él y otros físicos compartían ante la visión del mundo recientemente transformada de Einstein: “Ahora solo nos queda felicitarle (¿o quizá debería decir “darle el pésame”?) por haberse pasado al bando de los matemáticos puros”.
El trabajo de Einstein en este campo presentó otra característica distintiva: a diferencia de laformulación de la relatividad general, las principales innovaciones para establecer una teoría decampo unificada no las realizó principalmente Einstein con la ayuda de otros, sino que fueron obra deotros científicos, mientras él desempeñaba un papel más secundario y, a menudo, de asesor. Los primeros avances significativos en esta dirección los lograron los matemáticos Hermann Weyl y TheodorKaluza.
La matemática de la relatividad general, tal como se formuló originalmente, no ofrecía una vía preparada para la geometrización de la fuerza electromagnética. En un artículo publicado en 1918, Weyl demostró cómo la geometría riemanniana, en el con-texto del espacio-tiempo tetradimensional, podía ampliarse de tal manera que describiera no solo la gravedad, sino también el electromagnetismo. Según la perspectiva de Weyl, el electromagnetismo debía considerarse una propiedad del espacio-tiempo, exactamente como se concebía la gravitación en la relatividad general. Intentó lograr esta fusión de fuerzas al incorporar un término adicional (denominado potencial electromagnético) dentro del tensor de Einstein, Gij, que en la relatividad general ordinaria describe la curvatura del espacio-tiempo.
El artículo de Weyl de 1918, según el físico Lochlainn O’Raifeartaigh, “mostró por primera vez cómo se podía atribuir un significado geométrico al campo electromagnético”. Weyl argumentó que la invariancia de coordenadas de la teoría gravitacional tenía una contrapartida: una invariancia de escala que se asociaba con el electromagnetismo. La noción de invariancia de escala o de calibre, en términos simples, sostiene que las leyes físicas, y, por tanto, la física misma, permanecen inalteradas incluso cuando el calibre, la unidad de medida o el criterio, se modifica uniformemente por un factor común.
El físico Juan Maldacena propuso el siguiente ejemplo: imaginemos que alguien convierte dólares estadounidenses en pesos argentinos a un tipo de cambio de tres mil pesos por dólar. Si Argentina introdujera entonces una nueva denominación monetaria (como ocurrió a finales de los años ochenta), el austral, que equivale a mil pesos, quien cambiara un dólar estadounidense recibiría tres australes en lugar de tres mil pesos. Este cambio de moneda es análogo a lo que los físicos denominan una transformación de calibre o simetría de calibre, explicó Maldacena, porque, tras esta transformación, “nada cambia. Nadie es más rico ni más pobre, y el cambio no ofrece nuevas oportunidades económicas”. Y añadió: “Y no modifica nada físico, como el número de plátanos que se pueden comprar con el salario”.
En física existen numerosos ejemplos donde surgen transformaciones de este tipo. Los cambios de moneda son análogos a los potenciales magnéticos que varían de un punto a otro en un campo magnético y, por tanto, se relacionan con las fuerzas variables ejercidas sobre una partícula cargada que se desplaza dentro de esa región. Otro ejemplo sería: modificar el voltaje (V) de un sistema mediante la adición de unaconstante (C) no afecta a los campos eléctricos y magnéticos. Así, la diferencia entre tener un potencial eléctrico de 110 voltios en un extremo de un circuito y 100 voltios en el otro no varía sisumamos 10 voltios a cada lado. Además, si V constituye una solución a las ecuaciones de Maxwell delelectromagnetismo, entonces V+ C también lo es. Esto se debe a que V se define en relación con un punto e referencia, o tierra, que resulta en sí mismo arbitrario. Dado que el voltaje no está vinculado aninguna escala absoluta, lo clasificamos como una propiedad que presenta invariancia de calibre.
Weyl identificó una posible conexión matemática entre dos representaciones diferentes de la invariancia de la métrica. Una tenía carácter geométrico y se relacionaba con una vara de medir cuya longitud podía variar de un punto a otro en el espacio- tiempo, mientras que la otra estaba vinculada a una propiedad intrínseca del campo electromagnético. Esta estrategia, conjeturó Weyl,podría ofrecer una forma de geometrizar el electromagnetismo y, con ello, conectarlo a la gravedadya geometrizada. Sin embargo, los físicos advirtieron las aparentes deficiencias de este argumento.”Simplemente no creo que la ruta por la que has optado sea la correcta, por muy bien fundamentada que esté”, le escribió Einstein a Weyl en una carta de septiembre de 1918, en la que además lamentaba el hecho de que “¡el Señor no nos lo puso fácil!”. Einstein formuló una objeción específica: el espectro de radiación electromagnética emitido por un átomo de hidrógeno dependería, en el planteamiento de Weyl, de la historia pasada del átomo, donde historia en este contexto se refiere a la trayectoria específica que el átomo siguió a través del espacio-tiempo. Esta era una proposición que los experimentos realizados en la Tierra, así como las observaciones astronómicas de estrellas distantes, no corroboraban.
Weyl se tomó muy en serio estos comentarios y le confesó a Einstein unos meses después: «[sucrítica] me perturba mucho, por supuesto, ya que la experiencia ha demostrado que uno puede confiar en su intuición“. No obstante, en lugar de rendirse, Weyl intensificó sus esfuerzos. “Es un mérito de su agudeza matemática y su autoconfianza que persistiera en su empeño”, destacó el matemático Michael Atiyah. “La idea erademasiado hermosa para descartarla”.
El propio Weyl manifestó su convicción de que las leyes naturales deben expresarse mediante una forma matemáticamente elegante. «Mi trabajo siempre ha intentado unir lo verdadero con lo bello; pero, cuandohe tenido que elegir entre uno u otro, normalmente he optado por lo bello”.
En 1929, Weyl había resuelto su problema anterior. Logró superar la objeción de Einstein al demostrar unpunto crucial: el movimiento de un átomo de hidrógeno a través del espacio-tiempo no afectaría al espectro o frecuencia de la radiación emitida. Este movimiento solo modificaría la fase de las ondas electromagnéticas emitidas. Dicha fase se relaciona con el punto específico en que se encuentra una ondadeterminada dentro de su ciclo periódico. Esto eliminó el conflicto previo con la evidencia empírica, lo que lepermitió aplicar con éxito su nuevo enfoque de la teoría de calibre al electromagnetismo. La teoría que habíadesarrollado entrelazaba la gravitación, el electromagnetismo y la materia, aunque sus im La historia ha confirmado posteriormente esta afirmación, al demostrar que tres de las cuatro fuerzas fundamentales conocidas, o interacciones, en física (la electromagnética, la débil y la fuerte) pueden explicarse mediante la teoría de calibre. La gravedad, sin embargo, sigue siendo algo atípica en este sentido y se comprende mejor, en la actualidad, a través del principio de equivalencia. “El descubrimiento de este principio de calibre más amplio como principio fundamental de la física fue un proceso lento y tortuoso que duró más de sesenta años —indicó O’Raifeartaigh, que dividió este proceso en tres etapas—: en la primera etapa se demostró, principalmente por Hermann Weyl, que la invariancia de calibre tradicional del electromagnetismo estaba relacionada con la invariancia de coordenadas de la teoría gravitacional. La segunda etapa consistió en generalizar la invariancia de calibre utilizada en elelectromagnetismo a una forma que pudiera aplicarse a las interacciones nucleares”, una labor quecomenzó con la contribución de Weyl y llevó a lo que actualmente se denomi- na teoría de calibre deYang-Mills. Es importante destacar que dicha teoría se fundamentó en gran medida en el trabajo previo de los matemáticos Weyl, Élie Cartan, Shiing-Shen Chern, André Weil y otros. El físico Chen Ning Yang (el Yang de Yang-Mills, quien, en esta empresa, había colaborado con el físico Robert Mills) reconoció su desconocimiento de los fundamentos matemáticos de la teoría cuando le confesó a Chern que le parecía “emocionante y desconcertante [que] ustedes, los matemáticos, concibieran estos conceptos de la nada”. La respuesta de Chern fue que el desarrollo de estos conceptos en matemáticas no surgió de la nada; por el contrario, tenía una historia larga y compleja. En la tercera etapa a la que alude O’Raifeartaigh se demostró que la teoría de calibre podía adaptarse a una forma capaz de describir tanto las interacciones nucleares débiles como las fuertes. Cabría añadir también una cuarta etapa, puesto que la teoría de calibre ha contribuido igualmente a avances más recientes dirigidos a alcanzar (aunque todavía no se ha conseguido) el objetivo de Einstein de la gran unificación. La historia no concluyó aquí. “La teoría de calibre no solo constituye el marco de la física moderna, sino que también representa una de las áreas más novedosas y emocionantes de las matemáticas modernas”, afirmó Atiyah. Esta se vincula con múltiples campos de las matemáticas, incluido el concepto geométrico de transporte paralelo y el estudio de una amplia clase de objetos geométricos denominados haces de fibras (un tema relevante en matemáticas que no abordaremos en profundidad en este ensayo). Atiyah subrayó un ejemplo notable entre muchos posibles: “La teoría de las variedades de cuatro dimensiones debida a Simon Donaldson…, que surgió de la física pero ha resultado ser de profunda importancia para la geometría”. Kaluza, al igual que los matemáticos y físicos posteriores, se inspiró profundamente en el trabajo de Weyl. No obstante, el trabajo de Kaluza y sus seguidores siguió una línea completamente diferente. En unartículo que redactó en 1919 y que se publicó dos años después, Kaluza sostuvo que, aunque “la dualidad residual de la gravitación y el electromagnetismo no disminuye la belleza de esta teoría [la relatividad general], exige su sustitución por una imagen totalmente unificada”. Asimismo, en este artículo proponía “una realización aún más perfecta de la unificación” que la presentada en “la profunda teoría de H. Weyl”. En el núcleo del pensamiento de Kaluza se encontraban los diez campos o funciones distintos necesarios paradescribir con precisión el funcionamiento de la gravedad en cuatro dimensiones. Para determinar la curvatura es preciso examinar las derivadas (tanto la primera como la segunda) de estas funciones. Como hemos visto, la fuerza puede representarse en la forma matemática compacta de un tensor métrico, una matriz de cuatro por cuatro que contiene dieciséis entradas, de las cuales solo diez son independientes. Si, al igual que Kaluza, deseáramos incorporar el electromagnetismo en la ecuación, ¿dónde lo situaríamos? Esa mismamatriz de cuatro por cuatro no puede acomodar la inserción del electromagnetismo porque simplemente no cabe. Kaluza generó espacio adicional al introducir una quinta dimensión en este esquema, lo que originó, naturalmente, una matriz de cinco por cinco. Las ecuaciones gravitatorias encajan en esta matriz, lo que deja espacio para incluir el electromagnetismo en el mismo tensor ampliado de veinticinco elementos, de los cuales quince son independientes. No resulta sorprendente que la idea de añadir una dimensión adicional, y así ampliar el marco en el que una teoría unificada desarrolla su potencial, procediera de un matemático en lugar de un físico. Esto se debe a que constituye una práctica habitual en la actualidad, y lo era incluso hace un siglo, que los matemáticos conciban espacios de dimensiones superiores e incluso infinitas. Sin embargo, fue necesario que un físico, en este caso Oskar Klein, completara algunos aspectos, tanto cualitativos como cuantitativos, sobre esta quinta dimensión. En 1926, Klein ofreció una respuesta a la pregunta evidentemente obvia: sirealmente existe una dimensión extra, ¿por qué nadie la ha observado? Klein propuso que esta dimensión era extraordinariamente compacta, plegada en un círculo tan minúsculo que nunca había sido detectada. Para visualizar este concepto imaginemos un cabletelefónico, tenso y horizontal entre dos postes. Desde lejos, aparenta ser un hilo unidimensional que solo permite el desplazamiento en una trayectoria lineal, hacia la derecha o hacia la izquierda, pero nada más. Sin embargo, si nos acercamos, descubriremos que la superficie del cable constituyeen realidad un cilindro bidimensional. Un organismo diminuto, como una hormiga, podría desplazarse no solo a lo largo de un camino lineal (de un poste telefónico a otro), sino también en dirección circular, recorriendo el perímetro del cable hasta regresar al punto de partida. Para describir la quinta dimensión de nuestro espacio-tiempo, Klein recurrió a una dirección circular oculta que, según sus cálculos, debía ser increíblemente reducida: aproximadamente 10–³ centímetros de circunferencia. Ubicaba esta medida cerca de la denominada longitud de Planck, que, de acuerdo con las teorías físicas actuales, representa la menor medida posible. De este modo, una dimensión de talescaracterísticas podría existir sin ser percibida. Einstein sentía fascinación por la posibilidad de trascender las cuatro dimensiones y, a lo largo de los años, investigó personalmente formas de materializar este concepto. “La idea de lograr [la unificación] con un mundo cilíndrico de cinco dimensiones nunca se me ocurrió y me resulta muy atractiva. Ahora todo depende de que su idea resista el escrutinio físico”, escribió a Kaluza en 1919. Pero ahí estaba el problema: la teoría de Kaluza-Klein, como se denominó este enfoque, finalmente no resistió tal escrutinio. Por un lado, la teoría predecía una partícula cuya existencia nunca se comprobó. Además, los cálculos de la relación entre la masa de un electrón y su carga, basados en esta teoría, resultaron enorme- mente inexactos. No obstante, la idea no se descartó por completo. Al contra rio, mantiene una relevancia considerable, principalmente debido a la propuesta general formulada por Kaluza, y desarrollada por Klein, de que algunos misterios de nuestro universo pueden explicarse mediante la presencia de dimensiones que hasta ahora han permanecido invisibles. De hecho, esta constituye una premisa central de la teoría de cuerdas, un enfoque prometedor pero no verificado para la unificación, que se fundamenta en la noción de que el espacio-tiempo, y, por tanto, el universo mismo, es un espacio de once dimensiones. (En la actualidad predominan dos versiones de la teoría de cuerdas: una con diez dimensiones y lateoría M, con once. Los físicos sostienen que estas teorías son complementarias y no rivales, y algunos incluso plantean que el universo podría incorporar tanto diez como once dimensiones). El espacio-tiempo, según este marco teórico, incluye el tiempo, las tres dimensiones espaciales conocidas (e infinitamente extensas), y seis o siete dimensiones espaciales en miniatura plegadas en una espiral compacta que las oculta a la vista. “En lugar de simplemente postular la existencia de dimensiones adicionales, como habían hecho Kaluza, Klein y sus seguidores, la teoría de cuerdas las requiere”, explicó el físico Brian Greene. La teoría, que busca integrar las dos teorías físicas más exitosas del siglo xx, la mecánica cuántica y la relatividad general, se sitúa directamente en el campo de la gravedad cuántica. La principal innovación consiste en sustituir los objetos puntuales de la física de partículas por objetos extendidos (aunque extraordinariamente pequeños) denominados cuerdas. Las fuerzas y las partículas corresponden a diferentes modos de vibración de estas cuerdas, que se retuercen en un espacio de dimensiones superiores, una propuesta que jamás habría recibido ninguna atención sin los trabajos previos de Kaluza y Klein. La teoría de cuerdas exige más que la simple adición de algunas dimensiones para que las cuerdas vibren. Las ecuaciones derivadas de esta teoría imponen restricciones severas sobre la configuración geométrica que pueden adoptar dichas dimensiones. Su tamaño y forma exactos influyendecisivamente en el tipo de universo que habitamos, pues determinan las propiedades físicas de laspartículas y fuerzas observadas en la naturaleza, e incluso las características de partículas y fuerzas quepodrían existir pero que todavía no se han detectado. En 1984, un grupo de físicos intentó determinar la geometría, o configuración exacta, de las seis dimensiones ocultas en su esfuerzo por formular una teoría de diez dimensiones que describiera el mundo que realmente habitamos. Uno de estos investigadores, Andrew Strominger, contactó con Shing-Tung Yau para consultarle sobre las características de los espacios que pronto se conocerían como variedades de Calabi-Yau. Esta denominación provino de una conjetura planteada en 1954 por el matemático Eugenio Calabi que Yau demostró veintitrés años después. En términos sencillos, Calabi quería averiguar si ciertos tipos de variedades que se ajustan a una forma o topología general también podían cumplir condiciones geométricas muy específicas y rigurosas. Cuando presentó la conjetura, Calabi consideraba que “no tenía nada que ver con la física. Era estrictamente geometría”. Yau veía las cosas de otra manera. Puesto que la conjetura de Calabi dependía de la curvatura de Ricci, quepuede vincularse con la distribución de la materia dentro de un espacio específico, Yau advirtió que demostrarun caso particular de esa conjetura equivaldría a responder a la siguiente cuestión en relatividad general: ¿podría existir gravedad en un espacio-tiempo (o universo) completamente desprovisto de materia, es decir, un espacio-tiempo con curvatura de Ricci nula? Mediante su demostración, que requirió muchos años para completarse, Yau finalmente respondió a esa cuestión de manera afirmativa. En este proceso, demostró la existencia de lasformas multidimensionales postuladas por Calabi y fundamentadas estrictamente en las matemáticas. Durante su conversación con Strominger, Yau explicó las propiedades de las variedades de Calabi-Yau deseis dimensiones, y estas resultaron poseer las características específicas que buscaban los físicos, en particular, Philip Candelas, Gary Horowitz, Strominger y Edward Witten. Necesitaban un medio para plegar, o “compactar”, las seis dimensiones adicionales postuladas por la teoría de cuerdas, lo que las haría finitas en extensión y, de hecho, extremadamente reducidas. Las variedades de Calabi-Yau parecían perfectas para esta tarea. Los físicos incorporaron la variedad de Calabi-Yau en 1984 y, desde entonces, se ha convertido en un elemento central de la teoría de cuerdas, tan fundamental para su funcionamiento como las propias cuerdas. Así como James Hartle declaró que “la gravedad es geometría” , si la teoría de cuerdas es correcta, podríamos extender esta idea: la física es geometría, eco del antiguo postulado platónico según el cual “Dios es geómetra”. Esta visión no resulta exagerada para los defensores de la teoría de cuerdas, que sostienen que, en su versión de diez dimensiones, la geometría de Calabi-Yau define todas las propiedades de las partículas y fuerzas naturales. Pero, como se ha mencionado anteriormente, la teoría de cuerdas no ha sido corroborada por experimentos, y tal validación será, según todos los indicios, muy difícil de obtener. Todavía no sabemos si la teoría de cuerdas resultará ser la “teoría de la naturaleza” que los físicos buscan desde hace tanto tiempo. Muchos científicos la consideran, en cambio, un paso hacia la teoría de finitiva, aunque todavía queda “un largo camino por recorrer”, como afirmó el físico y pionero de la teoría de cuerdas Leonard Susskind. Sin embargo, la naturaleza provisional de la teoría no implica una ausencia de contribuciones significativas. Por el contrario, la teoría de cuerdas “nos ha enseñado muchas cosas sobre cómo encajan la gravedad y la mecánica cuántica”, según explicó Susskind. En 1996, por ejemplo, Stromingery su colega Cumrun Vafa utilizaron la teoría de cuerdas para ofrecer una imagen detallada de la estructura interna de un agujero negro. Dos décadas antes, Jacob Bekenstein y Stephen Hawking habían comprobado que un agujero negro contiene una entropía sorprendentemente elevada e inexplicable. La entropía, en este contexto, cuantifica las posibles configuraciones que pueden adoptar las partículas y la materia en el interior del agujero negro a escala microscópica. Strominger y Vafa, con la aplicación de las herramientas de la teoría de cuerdas, lograron esclarecer ese misterio y demostraron, por primera vez, el origen exacto de esa complejidad interna. Otro ejemplo notable tuvo lugar seis años antes, cuando Brian Greene (en aquel momento investigador posdoctoral de Yau) y Ronen Plesser (entonces doctorando de Vafa) descubrieron que dos variedades de Calabi-Yau diferentes, con formas o geometrías distintas, producían la misma física, un fenómeno que posteriormente se denominó simetría especular. Este hallazgo trascendía la mera coincidencia. En 1991, un equipo decuatro físicos aplicó la simetría especular para resolver una versión de un problema formulado inicialmente a finales del siglo xix por el matemático Hermann Schubert, que consistía esencialmente en calcular el número de esferas que podían insertarse en una variedad de Calabi-Yau de seis dimensiones. El resultado obtenido, 317206 375, concordaba perfectamente con el número calculado mediante métodos matemáticos tradicionales. Este resultado sorprendente proporcionó a los matemáticos una nueva estrategia para abordardiversos problemas en su campo, al aprovechar la insólita correspondencia entre variedades de Calabi-Yau con diferentes configuraciones. Cuando resultaba excesivamente complejo resolver un problema mediante el análisis de una variedad deCalabi-Yau específica, podían intentar solucionarlo a través de su equivalente o par especular. En 1996, Strominger, Yau y Eric Zaslow ofrecieron la primera explicación verdaderamente útil de la simetría especular hasta la fecha. Según la denominada conjetura SYZ (nombrada así por las iniciales desus tres autores), es posible generar una variedad especular mediante la división de una variedad de Calabi-Yau de seis dimensiones en dos subvariedades tridimensionales. Estas subvariedades se alteran sutilmente (a través de cierto tipo de transformación matemática), se invierten, se recombinan de maneradistinta y, ¡voilà!, surge una variedad especular. La conjetura SYZ ha facilitado una comprensión mucho más profunda de la simetría especular, un concepto que continúa ejerciendo influencia tanto en matemáticas como en física. Esta formulación contribuyó a revitalizar el campo de la geometría enumerativa, relacionada con el cómputo de curvas de diversos tipos que pueden ajustarse a distintas superficies multidimensionales. La simetría especular también ha influido notablemente en la geometría algebraica, disciplina que estudia los objetos geométricos que constituyen soluciones a ecuaciones algebraicas (específicamente polinómicas): el círculo, como ejemplo elemental, representa una solución a ecuaciones de la forma x² + y² = 1. A partir de la conjetura SYZ, los matemáticos Mark Gross y Bernd Siebert desarrollaron una teoríafecunda sobre dualidad en geometría algebraica. Resulta acertado afirmar que el interés por las dualidades identificables en matemáticas y física —la posibilidad de observar el mismo objeto o fenómeno desde dos perspectivas o marcos completamente distintos— se ha ampliado considerablemente desde el descubrimiento original de la simetría especular. En su intento de comprender el origen de la simetría especular, que constituye todavía un área de investigación activa, los matemáticos han descubierto vínculos nuevos e insospechados entre la geometría algebraica y la geometría simpléctica. Esta última concibe el espacio no como estructura rígida sino como entidad dinámica, que puede definirse mediante el análisis del comportamiento de objetos que se desplazan através de él, ya sean partículas o cuerpos celestes. Cuando esta simetría está presente, un mismo problema matemático puede abordarse indistintamente desde técnicas algebraicas o simplécticas, según convenga, lo que dota a los investigadores de un recurso metodológico extraordinariamente versátil. Las aplicaciones matemáticas de la teoría de cuerdas continúan expandiéndose. También se registranavances en física, aunque la anhelada unificación aún no se ha alcanzado, ni parece cercana. No obstante, la teoría de cuerdas ha aportado algunos de los modelos más precisos hasta ahora sobre las condiciones primigenias del universo apenas una millonésima de segundo después del big bang, cuando el cosmos consistía en un plasma de quarks y gluones a temperaturas y densidades extremas. Asimismo, la teoría de cuerdas se aplica con eficacia en la física de la materia condensada, donde ha predicho acertadamente comportamientos previamente inexplicables de los electrones en superconductores de alta temperatura. Es cierto que la teoría de cuerdas no ha satisfecho las elevadas expectativas de hace tres décadas respecto a la unificación de la relatividad general y la mecánica cuántica en un marco teórico coherente. Sin embargo, existe un aspecto favorable: la aproximación entre las matemáticas y la física, o al menos un vínculo considerablemente más estrecho. “Aunque la teoría de cuerdas aún no ha logrado lo que se esperaba inicialmente —afirmó el historiador de la ciencia Peter Galison—, ha abierto nuevos dominios de las matemáticas”. Esta situación encierra cierta ironía: la relatividad general y los intentos de fusionarla con el electromagnetismo condujeron al desarrollo de la teoría de calibre e indirectamente prepararon el terreno para la teoría de cuerdas. Estas han estimulado una actividad matemática extensa y persistente, a pesar de que las relaciones entre matemáticas y física ocasionalmente se caracterizan (y se deterioran) por la competencia. Algunos matemáticos pueden considerar su trabajo más riguroso y puro que el de los físicos, mientras que estos últimos argumentan que ciertas elaboraciones matemáticas resultan excesivamente abstractas e intangibles para tener aplicación práctica. Einstein formó parte de este último bando. Al principio de su carrera, afirmó que “no creía en las matemáticas”. Desconfiaba especialmente de las incursiones (o intromisiones) de los matemáticos en sus áreas particulares de investigación. Einstein inicialmente vio con recelo el intento de Minkowski degeometrizar la relatividad especial, mientras comparaba el enfoque axiomático de Hilbert, que daba prioridad a las matemáticas, para formular una teoría gravitacional, con las labores de un niño “desconocedor de las trampas del mundo real”. Hilbert, por supuesto, tenía una respuesta para eso y, dehecho, declaró que “la física es demasiado difícil para los físicos”. Einstein, como hemos visto, cambiaría de opinión. En etapas posteriores de su vida llegó a admitir que “un conocimiento más profundo de los principios básicos de la física está ligado a los métodos matemáticos más intrincados”, revelación que asimiló «solo gradualmente después de años de trabajocientífico inde- pendiente». Esta evolución intelectual, sin embargo, no lo eximió de las críticas decolegas físicos como Pauli, quien lo acusó metafóricamente de haber jurado lealtad al bando enemigo. Un conocimiento más profundo de los principios básicos de la física está ligado a los métodos matemáticos más intrincados. Albert Einstein Resultaría imposible, no obstante, sostener que los avances en física no pueden nutrirse de los progresos en matemáticas y viceversa. Este flujo constante e intercambio de conceptos a través de fronteras disciplinariasno se circunscribe únicamente a la teoría de cuerdas. La relatividad general ha alimentado el campo matemático tan profusamente como la simetría especular y la teoría de cuerdas. Al concluir nuestro recorrido, la reciprocidad entre disciplinas debería considerarse una realidad innegable. Si bien hemos destacado cómo el conocimiento matemático nutrió la creación de la teoríageneral de la relatividad y facilitó la comprensión de sus complejas implicaciones, dicha teoría hagenerado, a su vez, un extraordinario caudal de avances matemáticos. El encuentro de Einstein —con la colaboración de Grossmann— con la geometría riemanniana y el cálculo tensorial de Gregorio Ricci y Tullio Levi-Civita constituyó la estructura matemática fundamental sobre la que edificó su teoría de la relatividad general, lo que representa un ejemplo contundente de esta interrelación. La relatividad general suscitó un renovado interés por la geometría riemanniana, que hasta ese momento había permanecido como “un remanso de las matemáticas”, según el matemático Mihalis Dafermos. “La razón por la que la geometría riemanniana se recuperó y se convirtió en un campo importante de las matemáticas es, sin duda, la relatividad general“. Esta simbiosis alcanza dimensiones aún más profundas. El matemático Hung-Hsi Wu señaló que, cuando Einstein adoptó los espacios curvos multidimensionales introducidos por Bernhard Riemann, estaba reconociendo una verdad más revolucionaria: “No eran solo construcciones abstractas concebidas por matemáticos, sino precisamente lo que necesitábamos para comprender el universo”, afirmó Wu. El cálculo tensorial, introducido inicialmente por Ricci como cálculo diferencial absoluto y posteriormente refinado por Levi-Civita, adquirió relevancia significativa tanto en física como en matemáticas, gracias a la teoría gravitacional de Einstein. “No es exagerado afirmar que la relatividad general de Einstein fue la aplicación decisiva del [cálculo diferencial absoluto] de Ricci”,señaló la historiadora de la ciencia Judith Goodstein. La relatividad general, sin embargo, no se limitó a dotar de utilidad a una rama anteriormente pococonocida de las matemáticas. El tensor de Ricci, concepto formulado aproximadamente dos décadas antes del surgimiento de la relatividad general, experimentó un renacimiento matemático tras su incorporación en las ecuaciones de campo de 1915. El flujo de Ricci, técnica desarrollada por el matemático Richard Hamilton y fundamentada en el tensor de Ricci, fue posteriormente adoptada y expandida por Grigori Perelman. Este flujo constituyó un elemento esencial en la demostración de Perelman, publicada en tres artículos durante 2002 y 2003, del caso tridimensional (y más complejo) de la conjetura de Poincaré. Esta conjetura, con más de un siglo de antigüedad, ha proporcionado nuevasperspectivas sobre la naturaleza topológica de la esfera en tres dimensiones. El protagonismo que la relatividad general concedió a los espacios tetradimensionales propició finalmente descubrimientos relevantes por parte de geómetras y topólogos, al tiempo que planteó nuevos enigmas. Esta línea de investigación fue anticipada por el físico Paul Dirac, que intuía características excepcionales en las cuatro dimensiones. Durante una conferencia impartida en 1924 como estudiante de posgrado en la Universidad de Cambridge expuso su razonamiento: “El geómetra actual no está más interesado en un espacio de cuatro dimensiones que en un espacio de cualquier otro número de dimensiones. Sin embargo, debe existir alguna razón fundamental por la que el universo real es de cuatro dimensiones, y estoy convencido de que, cuando se descubra esta razón, el espacio tetradimensional despertará mayor interés para el geómetra que cualquier otro”. Simon Donaldson, que en 1982 comenzó a publicar una serie de artículos revolucionarios sobre la estructura del espacio tetradimensional, considera que la afirmación de Dirac resultó “bastante profética”: “Una de las conclusiones derivadas de las teorías de calibre es que los espacios tetradimensionales poseen características peculiares. Existen numerosas construcciones matemáticas aplicables a cualquierdimensión. Las ecuaciones de Einstein, por ejemplo, operan en cualquier dimensión, pero ciertos fenómenossolo se manifiestan en cuatro dimensiones”. Como ejemplo, Donaldson señaló que, en el espacio-tiempo tetradimensional, “los campos eléctricos y magnéticos presentan similitudes, mientras que en otras dimensiones constituyen objetos geométricamente distintos. Uno representa un tensor, y el otro, un vector, por lo que realmente noadmiten comparación. Las cuatro dimensiones constituyen un caso excepcional donde ambos son vectores. Allí emergen simetrías inexistentes en otras dimensiones”. Donaldson, considerado la máxima autoridad mundial en la materia, todavía no logra explicar completamente (tampoco sus colegas) por qué existe esta particularidad o por qué las cuatro dimensiones resultan tan singulares: “No es algo que comprendamos de manera fundamental. Constituye un enigma que deberá investigarse en el futuro”. La relatividad general ha estimulado profundamente el desarrollo matemático. Existe, y claramente haexistido, una relación sinérgica entre ambas disciplinas, donde cada una nutre a la otra. Esta interacción entre disciplinas no siempre fluye de manera constante, sino que suele manifestarse en momentoscruciales de fecunda colaboración intelectual para luego disolverse temporal mente hasta una nueva convergencia. Naturalmente, han existido científicos eminentes en ambos lados de esta “división” que no atribuyen (o no atribuían) gran importancia a la colaboración entre estos campos. El físico galardonado con el Premio Nobel Richard Feynman, por ejemplo, no profesaba especial admiración por tales iniciativas interdisciplinarias: “Si todas las matemáticas desaparecieran hoy, la física retrocedería exactamente una semana”. Ante esta declaración, Michael Atiyah ofreció lo que podríaconsiderarse la réplica perfecta: “Esa fue la semana en que Dios creó el mundo”. Pese a la brillantez de esta observación, nosotros (los autores de este libro) no la presentaremos como la conclusión definitiva, pues no deseamos sugerir que las matemáticas prevalecieron de algún modo en este debate. Más bien consideramos que el avance científico alcanza su máximo potencial cuando integra armoniosamente perspectivas diversas, y aprovecha tanto el rigor formal de las matemáticas como la intuición de la física para iluminar distintas facetas de la realidad natural. El avance en la relatividad general, desde sus inicios e incluso antes de su fundación “oficial” como disciplina, se ha fundamentado en la colaboración entre matemáticos y físicos, realidad tan vigente hoy como a principios del siglo xx. En ocasiones, estas líneas de investigación discurren separadamente, con físicos y matemáticos trabajando en sus respectivos dominios. Sin embargo, cuando ambos esfuerzos convergen y se potencian mutuamente, podemos confiar en que nuestra exploración del universo y sus enigmáticos elementos se sustenta sobre cimientos más sólidos, incluso si estos cimientos constituyen esa sutil amalgama tetradimensional denominada espacio-tiempo. Pese a las objeciones de Feynman, comprender el cosmos requiere tanto de la física como de las matemáticas, una misión que representa una de las más nobles aspiraciones humanas. Esta conclusión fue asimilada progresivamente por Einstein, tras sus recelos iniciales sobre la relevancia matemática. Y nosotros, como comunidad científica, continuamos recogiendo estos frutos en la actualidad. Siguiendo el ejemplo de Einstein, guiados simultáneamente por el rigor matemático y la intuición física, perseveramos en esta sublime búsqueda.
Cortesía de Muy Interesante
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