En enero de 1926, el físico austríaco Erwin Schrödinger (famoso por el gato) envió a la revista Annalen der Physik un artículo titulado “Quantisierung als Eigenwertproblem” (“La cuantización como problema de autovalores”). Aquella frase, en apariencia técnica y poco sugerente, ocultaba una revolución: el nacimiento formal de la mecánica ondulatoria, la rama de la física cuántica que describe el mundo no con partículas que saltan de órbita en órbita, sino con ondas que vibran en el espacio.
En ese artículo, Schrödinger presentó por primera vez una formulación general que permitía derivar los niveles de energía del átomo sin necesidad de imponer números enteros por decreto. No se trataba de una mejora cosmética, pues se trataba de una transformación conceptual que, incluso, trascendía hacia el terreno de la filosofía.
Antes de Schrödinger: la cuantización sin ecuación
Hasta entonces, los físicos como Bohr o Sommerfeld habían explicado el comportamiento de los átomos postulando que ciertas magnitudes, como la energía o el momento angular, solo podían tomar valores discretos. Esos valores se obtenían con condiciones como “el momento angular debe ser un múltiplo de la constante de Planck”. ¿Por qué? Nadie lo sabía con certeza.
Esas condiciones funcionaban, pero parecían trucos. Schrödinger buscaba algo distinto: una ley de la naturaleza escrita como ecuación, no como regla impuesta desde fuera. Aquello parecía artificial y metido con calzador.
Inspirado por ondas
La clave para dar ese paso fue una idea propuesta en 1924 por Louis de Broglie, que sugería que las partículas como los electrones podrían tener naturaleza ondulatoria. Si era así, entonces tal vez los electrones no “orbitaban” el núcleo como planetas, sino que vibraban alrededor de él como ondas. Y las ondas, como en una cuerda de guitarra, solo pueden tener ciertas frecuencias si han de permanecer estables.
Así nació la idea de que la cuantización no era un misterio, sino una consecuencia natural del hecho de que solo ciertas ondas caben en ciertos sistemas.
La verdadera semilla de la ecuación de Schrödinger
En su artículo, Schrödinger propuso reemplazar las antiguas condiciones cuánticas por un nuevo enfoque basado en ecuaciones diferenciales. Y aquí, por fin, aparece la fórmula original que buscabas. Literalmente, Schrödinger escribe (p. 1 del artículo): “La forma habitual de la [regla de cuantización] se basa en la ecuación diferencial parcial de Hamilton”.
Este es el primer enunciado formal de la idea que luego se transformaría en la ecuación de Schrödinger moderna. Aquí, H es el hamiltoniano clásico (la función energía del sistema), y Schrödinger propone convertirlo en un operador diferencial actuando sobre ψ, la función que describirá el sistema cuántico.
En palabras más sencillas: la energía ya no se obtiene imponiendo condiciones discretas, sino resolviendo una ecuación matemática cuyo resultado arroja directamente los valores permitidos.
La ecuación completa para el hidrógeno
Unos párrafos más adelante, cuando aplica este principio al átomo de hidrógeno, Schrödinger da forma concreta a su ecuación. La primera ecuación que puede considerarse versión de la ecuación de Schrödinger en el artículo original es la siguiente:
Esta fue la primera forma concreta que Schrödinger presentó en 1926 al aplicar su enfoque variacional al caso del electrón en el átomo de hidrógeno. Aunque a primera vista no se parece a la ecuación de onda que hoy llamamos “la ecuación de Schrödinger”, esta expresión encierra la clave de su razonamiento: una ecuación formulada a partir de derivadas parciales, con energía total E, potencial eléctrico e2/r, y una función desconocida ψ, de la que se espera obtener los niveles de energía como autovalores. A partir de aquí, y aplicando técnicas matemáticas bien conocidas en su tiempo, se llega a la versión moderna de la ecuación. Pero esta es la semilla original.
De la fórmula a la función de onda
En el artículo, Schrödinger aún no interpreta físicamente ψ. Para él es una función real del espacio, como una vibración. De hecho, en los últimos párrafos del texto dice explícitamente que esta función podría relacionarse con “procesos de oscilación en el átomo”, y que los electrones ya no serían bolitas sino modos de vibración.
Será Max Born quien poco después proponga que ∣ψ∣2 representa una probabilidad: la probabilidad de encontrar el electrón en cierto lugar. Esa interpretación probabilística, que Schrödinger no compartía del todo, es la que finalmente se impuso.
La ecuación de Schrödinger en la actualidad
La ecuación que Schrödinger publicó en 1926 ha evolucionado desde su forma inicial hasta convertirse en una de las expresiones matemáticas más reconocibles de la física moderna. Hoy se utiliza en distintas versiones, adaptadas a diferentes situaciones físicas. A continuación presentamos las dos más habituales.
Versión dependiente del tiempo
Esta es la forma más general. Describe cómo cambia en el tiempo el estado de un sistema cuántico:
Aquí, Ψ(r,t) es la función de onda, que contiene toda la información sobre la partícula. El símbolo Ĥ (con “gorrita”) representa el hamiltoniano, es decir, el operador que recoge la energía total del sistema (cinética más potencial). La constante ℏ es la versión reducida de la constante de Planck, y la letra i es la unidad imaginaria, que introduce el carácter ondulatorio y complejo de la función.
Versión independiente del tiempo
Cuando el sistema está en un estado estacionario (es decir, no cambia con el tiempo), la ecuación toma una forma más simple:
Es la versión más usada para resolver problemas concretos, como el átomo de hidrógeno o las partículas en pozos de potencial. Si escribimos el operador hamiltoniano de forma explícita, obtenemos:
Aquí aparece el operador ∇2, que representa el comportamiento espacial de la función de onda (es decir, cómo se curva en el espacio), y V(r) es el potencial externo que actúa sobre la partícula.
¿Qué es la versión bra-ket de la ecuación de Schrödinger?
Una de las formas más modernas y elegantes de escribir la ecuación de Schrödinger es la siguiente:
Esta forma pertenece a la notación bra-ket, introducida por Paul Dirac en los años treinta. El símbolo ∣ψ⟩ se pronuncia “ket psi” y representa un estado cuántico abstracto, sin necesidad de referirse a coordenadas concretas. En esta formulación, la ecuación de Schrödinger describe cómo cambia ese estado con el tiempo bajo la acción del operador hamiltoniano Ĥ, que representa la energía total del sistema.
¿En qué se diferencia de las formas clásicas?
Mientras que las versiones originales de Schrödinger utilizaban funciones ψ(x,t) que dependen explícitamente del espacio y el tiempo, la notación bra-ket permite describir el sistema cuántico de forma más general. Por ejemplo, esta misma ecuación puede aplicarse tanto a una partícula en el espacio como a un electrón con espín o a un fotón sin posición definida. Es un lenguaje que unifica toda la mecánica cuántica en una sola expresión formal.
¿Qué cambia respecto al artículo original?
La principal diferencia es la forma. En el artículo de 1926, Schrödinger no escribió directamente esta ecuación con el operador ∇2, sino que propuso un principio variacional, una especie de receta matemática que, al aplicarse correctamente, conduce de manera natural a esta ecuación moderna. Además, usó otras constantes (como K en lugar de ℏ) y formulaciones cuadráticas que hoy han sido reemplazadas por versiones más limpias y operativas.
¿Qué significa que Schrödinger usó un principio variacional?
En lugar de escribir directamente una ecuación como las que usamos hoy, Schrödinger partió de un enfoque más general y elegante: el principio variacional. Esta idea viene de la física clásica y consiste, en pocas palabras, en lo siguiente:
De todas las posibles funciones matemáticas que podrían describir un sistema, la naturaleza “elige” aquella que minimiza una cierta cantidad (una integral) relacionada con la energía.
Así lo expresa con claridad en una frase clave del texto: “Die Gesetze des stationären Zustandes lassen sich somit auf das Problem der Extremen einer Funktionalgröße zurückführen”, que puede traducirse literalmente como “Las leyes del estado estacionario pueden, por tanto, reducirse al problema de los extremos de una magnitud funcional”. Es decir, Schrödinger propone que el comportamiento físico de una partícula cuántica puede deducirse encontrando aquella función matemática (la función de onda) que hace extrema —habitualmente mínima— una cierta cantidad relacionada con la energía total del sistema. Esta forma de pensar, heredera del cálculo de variaciones clásico, permitió deducir su famosa ecuación no como un punto de partida, sino como una consecuencia natural de un principio más general.
| Versión | Ecuación | Contexto y características |
|---|---|---|
| Original de 1926 |
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Primera formulación concreta, usando coordenadas cartesianas. Derivada de un principio variacional. No hay derivada temporal ni notación de operadores. |
| Forma moderna (estacionaria) |
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Versión más reconocible para el caso sin dependencia temporal. Utiliza el operador Hamiltoniano y simplifica el formato con notación estándar actual. |
| Forma moderna (dependiente del tiempo) |
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Ecuación de Schrödinger completa, con evolución temporal. En esta forma se encuentra grabada en su lápida y es el estándar actual para describir dinámica cuántica. |
| Notación bra-ket (Dirac) |
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Reformulación abstracta del formalismo, propuesta por Dirac. Representa los estados cuánticos como vectores en un espacio de Hilbert. Muy usada en física teórica. |
Referencias
Cortesía de Muy Interesante
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