Las matemáticas y la física han sido, durante siglos, herramientas fundamentales para descifrar los misterios del universo. Pero, ¿qué pasaría si en lugar de verlas como simples ecuaciones y números en un papel, las percibiéramos como protagonistas de una historia fascinante? En El poder de la física y las matemáticas, Ismael Roldán Castro nos invita a recorrer este viaje extraordinario, donde los teoremas y los descubrimientos científicos cobran vida, revelando su impacto en nuestra sociedad y en la forma en que entendemos la realidad.
A través de un enfoque ameno y accesible, el autor entrelaza conceptos científicos con relatos históricos y personajes ilustres, mostrándonos cómo figuras como Lise Meitner, Alan Turing o Leonhard Euler revolucionaron la manera en que interactuamos con el mundo. Desde los patrones ocultos en la arquitectura de la Alhambra hasta las ecuaciones que permiten que los aviones desafíen la gravedad, el libro nos sumerge en un universo donde la física y las matemáticas son mucho más que herramientas técnicas: son una clave para comprender el pasado, el presente y el futuro.
Más allá de la historia, este libro pone de manifiesto la presencia de las matemáticas en nuestra vida cotidiana. Desde el GPS que nos guía en nuestros trayectos hasta el algoritmo que filtra la información en redes sociales, cada avance tecnológico tiene su fundamento en principios matemáticos. La obra de Roldán Castro destaca cómo estas ciencias no solo han sido esenciales en los grandes descubrimientos científicos, sino que también están integradas en los aspectos más mundanos de nuestra existencia.
Como parte de este recorrido, el autor dedica un capítulo completo a uno de los números más fascinantes de la historia: el número e. Esta constante matemática, menos conocida que π pero igual de influyente, aparece en contextos tan diversos como la economía, la biología y la teoría del caos. En exclusiva, te ofrecemos la posibilidad de leer este capítulo completo y adentrarte en los secretos de este número clave en la ciencia y la tecnología.
El número e, por Ismael Roldán
Otro ilustre número irracional e-legante, e-mocionante y e-terno, es el número e: 2,7182818… Como no podía ser de otra manera por su esencia irracional, tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
La condición de ser un número «trascendente» como pi fue demostrada en 1873 por un eminente matemático francés llamado Charles Hermite (1822-1901) en el teorema que lleva su nombre. Su amigo, el también matemático francés Joseph Liouville (1809-1882), uno de los matemáticos más sobresalientes de la época, había iniciado el estudio de la trascendencia del número e. Pero fue Hermite quien demostró que e no era un número algebraico y, por tanto, como vimos anteriormente al estudiar la trascendencia de pi, tenía que ser trascendente. Quienes hayan cursado carreras universitarias de ciencias, seguro recuerdan el método de Hermite para la integración de funciones racionales cuando existen raíces múltiples. En 1876, Charles Hermite fue nombrado profesor de álgebra superior en la Universidad de París. Se le ha considerado como uno de los más importantes matemáticos franceses en teoría de funciones.
Ciertamente los números e y pi son vecinos de la recta real y se encuentran a poco más de 42 centésimas de distancia (3,1415927 – 2,7182818 = 0,4233109).
El matemático escocés John Neper (1550-1617), barón de Murchiston, nacido como se pueden imaginar en una familia de la aristocracia escocesa, fue un hacendado dedicado principalmente a administrar sus extensas propiedades que, además, escribía sobre temas de lo más diverso, incluyendo las matemáticas. Por poner un ejemplo, y como protestante convencido, sostuvo hacia 1593 que en el Apocalipsis de san Juan, el papa de Roma era el anticristo. Incluso se dedicó a inventar sistemas defensivos militares para frenar una posible invasión de Felipe II de España. Pero probablemente ha pasado a la posteridad, justamente, por su memorable invento de los logaritmos que apareció en 1614 dentro de su obra: Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos). Básicamente, Neper, lo que hizo fue escribir números en forma exponencial con la base relacionada con el número e. Por ejemplo: e2, e3,5, e0,25, etc. Entonces, lo que conseguía era convertir un producto de números en una suma: e2 · e1,5 = e(2+1,5) = e3,5. O, un cociente, en una resta: e4,5 / e2 = e(4,5-2) = e2,5. Todo ello aplicando, como acabamos de ver, las propiedades elementales de las potencias. La cuestión era pasar de un número cualquiera x a otro equivalente: x = ey, siendo y = ln x, el conocido como logaritmo neperiano de x. No obstante, más tarde, el matemático inglés Henry Briggs (1556-1631) convencería a Neper de la conveniencia de adoptar otra base distinta del número e, la base 10, para que los números apareciesen como potencias de diez: 103, 105,38, 101,75, etc. Este cambio dio lugar a la aparición de los logaritmos decimales o brigsianos. En las calculadoras actuales que utilizan los alumnos de secundaria y bachillerato se encuentran ambos tipos de logaritmos. Es frecuente también que utilicen estas propiedades:
log (a · b) = log a + log b; log (a / b) = log a – log b; log ab = b · log a
A pesar de todo, fue el matemático suizo Jacob Bernouilli (1655-1705), quien en 1683 descubre el número e al estudiar cómo obtener más dinero en el banco. El interés compuesto había nacido. Supongamos un banco ideal que nos dé un interés del 100 % anual y que a principios de año hacemos una aportación de 1 €, es claro que al final de ese año tendremos 2 €. Muy inteligente Bernouilli pensó que, si en vez de esperar un año le acumulasen los intereses devengados a los seis meses, obtendría más de 2 €.
Veamos, en los seis primeros meses el interés sería del 50 % y habría acumulado 1,5 €. En los siguientes seis meses, ese euro y medio habría devengado la mitad de intereses, o sea, 0,75 €. Así que al final del primer año tendríamos 2,25 €. Así pues, en efecto, fraccionando el período del devengo de intereses, se obtenían más de 2 €. Y como la ambición no tiene límite (aunque en este caso, lamentablemente sí) pudo pensar que fraccionando más y más los períodos obtendría cantidades cada vez mayores. De hecho, pudo comprobar que aumentaba el capital final tras el primer año y seguía esta sucesión: 2, 2,25, 2,37, 2,44, etc. Bernouilli veía que se superaban los 2 €, pero desde luego jamás llegaba a los 3 €.
Si el período utilizado para acumular los intereses es una fracción q del año, entonces:
En nuestro caso: C0 = 1 €, r = 100 %
Si n = 1 año (aquí q = 1): Cf = 1 + 1 = 2 €
Si acumulamos los intereses semestralmente en n = 1 año (entonces q = 2):
De igual forma, acumulando intereses por cuatrimestres (n = 1, q = 3) obtendríamos un capital final Cf = 2,37 € y así sucesivamente.
Bernouilli, como buen matemático que era, imaginó un proceso fragmentador hasta el infinito para ver qué ocurría finalmente con el capital final. Había encontrado una maravillosa sucesión: (1 + 1/q)q, siendo q la fracción del año considerada. ¿A qué número se acercaría esa sucesión si q tendía a infinito? La demostración de que esa sucesión es monótona creciente y está acotada superiormente y, por ello, tiene límite es de una belleza indescriptible, aunque excede las posibilidades de esta narración:
En el límite, como acabamos de ver, apareció el número e. Sin embargo, hay que precisar que quien bautizó como número e a ese número en 1731 fue otro de los grandes matemáticos de todos los tiempos, Leonhard Euler, el cual lo comunicó al matemático prusiano Christian Goldbach (1690-1764), célebre por la Conjetura que lleva su nombre y de la que hablaremos más adelante. Fue también Euler quien en 1748 calculó las primeras dieciocho cifras decimales del número e:
Este número tiene aplicaciones insólitas. Por ejemplo, puede dar cuenta del devenir de una población determinada de seres vivos a través de la función exponencial que lo tiene por base. En otro contexto, siempre que un cable cuelga de dos puntos a cierta distancia, se genera una curva llamada catenaria en cuya expresión funcional aparece el número e. También pudimos comprobar que los números e y pi cohabitan en la función cuya representación gráfica era la campana de Gauss. Y cuando hay que datar alguna muestra orgánica de hasta 60 000 años de antigüedad, el número e resulta esencial en alianza con el carbono 14 a través de la ley de desintegración radiactiva:
Donde N0 es el número de núclidos en t = 0, N representa el número de núclidos que quedan tras la desintegración radioactiva en el instante t y λ es la constante de desintegración. Una de las utilidades más conocidas de esta fórmula se da fundamentalmente en arqueología. Es la técnica conocida como datación por radiocarbono (C-14) no aplicable desde luego para valores pequeños de t (días, meses o pocos años) ni para valores que sobrepasen los 50 000 años (los huesos de los dinosaurios no pueden ser estudiados con esta técnica porque desaparecieron hace más de 65 000 años).
El carbono es la base de la química orgánica. Se trata de un elemento presente en la naturaleza y sus seres vivos que se origina en las capas altas de la atmósfera cuando los átomos de nitrógeno se unen a neutrones de la radiación cósmica. Existen tres tipos de isótopos del carbono (se llaman isótopos a los elementos que tienen el mismo número de protones, pero diferente número de neutrones en el núcleo atómico): C-12, C-13 y C-14. Todos tienen seis protones en su núcleo, si bien diferente número de neutrones: 6, 7 y 8, respectivamente. El más abundante es el C-12, con un 98,9 %, siguiéndole el C-13 con un 1,1 %. Tanto el C-12 como el C-13 son estables. El C-14, el utilizado para conocer la antigüedad de una muestra, es inestable por ser radiactivo. Resulta interesante saber que, mientras un organismo está vivo, la cantidad de C-14 (y de los otros isótopos también) se mantiene constante en la misma proporción que en la atmósfera. Podría surgir la pregunta de cómo puede ocurrir esto si acabamos de decir que es inestable y, por tanto, la cantidad disminuye debido a la radiactividad. Pues bien, aunque la cantidad de C-14 en un organismo vivo vaya menguando debido a la radiactividad, al mismo tiempo se va reponiendo por la ingestión de alimentos que llevan carbono dentro. De esta forma, mientras esté vivo el organismo, la proporción no cambia. Cuando ese ser vivo muere, los isótopos estables C-12 y C-13 se mantienen en sus valores debido a su estabilidad, pero el C-14 comienza su decaimiento ya que no puede reponerse por alimentación.
Imaginemos, a modo de ejemplo, que se ha hallado un hueso humano en unas excavaciones arqueológicas y su contenido de C-14 es del 98,5 % (es el porcentaje respecto al contenido de C-14 en los organismos vivos en el momento del descubrimiento del hueso). Intentemos estimar su antigüedad. Vamos a utilizar la ley de la desintegración radiactiva que vimos anteriormente. Si representamos gráficamente dicha ley obtendremos una curva exponencial decreciente como la de la figura.
Lo primero que necesitaremos es el valor de la constante de desintegración λ en el caso del C-14. Lo que sabemos de este elemento radiactivo es que su período de semidesintegración es de 5 730 años. Esto significa que, si en un instante inicial tenemos una cantidad N0, tras 5 730 años tendremos N = N0/2 (en la representación gráfica anterior: N/N0 = 0,5). De esta forma y aplicando la citada ley, resultará: N0/2= N0 · e-5730 λ, simplificando y tomando logaritmos neperianos: λ = ln 2/5730, de donde finalmente: λ = 1,21 · 10-4 años-1. Ahora ya podemos estimar la antigüedad del hueso encontrado sin más que tener en cuenta el dato inicial: N / N0 = 98,5 % = 0,985. Aplicando nuevamente la fórmula:
Por último, tomando logaritmos y despejando:
4.1. Otras curiosidades del número e
4.1.1. El legado de Benjamin Peirce
El matemático americano Benjamin Peirce (1809-1880) junto a su hijo, Charles Sanders Peirce (1839-1914), matemático y uno de los padres de la semiótica, contribuyeron de forma determinante al desarrollo del álgebra matricial en EE. UU. Benjamin Pierce fue profesor en el Harvard College y escribió un artículo memorable titulado Linear Associative Algebra en 1864 que, sin embargo, no se publicó hasta diecisiete años más tarde. Obtuvo un sorprendente resultado que vincula el número imaginario puro i (i2 = -1) con los números irracionales e y pi:
4.1.2. El misterio continúa con ee
Continúa siendo una incógnita en la actualidad saber si ee es un número «trascendente», aunque sí se sabe que eπ lo es.
4.1.3. ¿El número e como suma de infinitos términos?
Nuevamente llama la atención un resultado como este en el que un número caótico y desordenado como e puede expresarse como una suma infinita y ordenada de fracciones. Recuerde el lector que un número irracional no admite un representante racional. Y, sin embargo, sumando infinitas fracciones se logra que la siguiente serie sea convergente e igual al número e:
Donde n! = n · (n-1) · (n-2) · … · 3 · 2 · 1 y conviniendo que 0! = 1.
4.1.4. La fórmula de Euler
La llamada «fórmula de Euler» es:
El número imaginario i es el visto con anterioridad. Una ecuación de gran utilidad por permitir, por ejemplo, expresar números complejos dados en forma polar a forma exponencial: z = rα = r (cos α + i sen α) = r · eiα, donde z es un número complejo, siendo rα la forma polar y r · eiα la forma exponencial (r es el módulo y α el argumento). Tanto la forma polar como la exponencial de un número complejo permiten efectuar las operaciones de multiplicación y división de una forma mucho más rápida que si se utiliza la forma binómica: z = a + b · i. Otras aplicaciones más complejas se encuentran en análisis de teoría de circuitos electrónicos. Por último, si hacemos x = π rad (180°), resultará (cos π = -1 y sen π = 0):
Obteniéndose de nuevo la que ya denominamos como la ecuación más bella del mundo.
4.1.5. El problema de los sombreros de Euler
Resulta divertido este problema formulado por Euler. Supongamos que n personas acuden a un teatro, que todas llevan sombrero y que lo depositan en el guardarropa. Cuando termina el espectáculo y se acercan a recoger sus sombreros observan atónitos que las etiquetas identificativas han desaparecido y la persona encargada de entregarlos lo hace de forma aleatoria. Si n → ∞, la probabilidad de que exactamente N personas se lleven el suyo viene dada por la fórmula siguiente:
En la fórmula, N! son las permutaciones de N elementos (por ejemplo, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24), con la convención de que 0! = 1.
Así pues, la probabilidad de que nadie se lleve su sombrero sería aproximadamente: 1/e ≈ 0,37. También resulta evidente que a medida que aumenta N, la probabilidad de que los N se lleven su sombrero tiende a cero, como era previsible. Para valores grandes de n (n ≥ 10, por ejemplo) y sin necesidad de que sea infinitamente grande, la probabilidad de que nadie se lleve su sombrero se sigue aproximando a 1/e.
Cortesía de Muy Interesante
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