Galaxias y dolinas: un ejemplo de la universalidad fractal

Galaxias y dolinas son dos estructuras naturales muy dispares sin que, en apariencia, tengan nada en común. Mientras una galaxia es un conjunto de millones de estrellas, una dolina es una depresión cerrada del terreno formada por la disolución de la roca. Fíjate en la imagen de portada, con las figuras 1A y 1B. La figura 1 muestra ejemplos concretos de ambos objetos. La figura 1A presenta una imagen de la galaxia espiral NGC 1546 tomada por el telescopio espacial Hubble. Por su parte, la figura 1B muestra una dolina en un paisaje kárstico desarrollado en rocas carbonatadas (calizas y dolomías). Entonces, siendo objetos tan dispares, ¿por qué se parecen tanto los mapas de distribución de galaxias en el universo y de distribución de dolinas en un macizo kárstico?

Para visualizar el problema, en la figura 2 se representan tres mapas de puntos confeccionados con datos reales. Uno de ellos (no decimos cual) representa un mapa de galaxias, esto es, cada punto del mapa representa una galaxia, mientras que los otros dos mapas exhiben la distribución de dolinas de dos macizos kársticos españoles, donde cada punto representa una dolina. ¿Sabría el lector decir cuál (A, B o C) es el mapa de galaxias?

Los fractales

Ciertamente resulta difícil razonar una elección, porque los tres mapas de puntos son muy parecidos. Deliberadamente se ha omitido la escala en los mapas, ya que en caso contrarío habría sido muy fácil la decisión. Hay que tener en cuenta que la anchura (o escala) que representa un mapa de dolinas es del orden de decenas de kilómetros, mientras que la escala del mapa de galaxias involucra distancias de miles de años luz, esto es, millones y millones de kilómetros. Por consiguiente, tenemos dos procesos que tienen escalas muy dispares y que son físicamente muy diferentes, y sin embargo producen patrones espaciales muy parecidos. 

La solución a este dilema está en los fractales, que proporcionan la conexión entre los conjuntos de puntos de ambos objetos naturales, galaxias y dolinas. Por ello introducimos los fractales naturales, como objetos irregulares donde el mismo patrón geométrico se repite (aproximadamente o estadísticamente) a diferentes escalas. Esto es, una parte se parece al todo, una propiedad conocida como autosimilitud o autosemejanza (figura 3). Ejemplos de fractales naturales son un árbol (ejemplo en biología), una nube (ejemplo en física) o la línea de costa (ejemplo en geología). En el caso de una línea de costa, conforme vamos observando partes más pequeñas de la misma, aparecen nuevos detalles de entrantes y salientes, de modo que seguimos viendo la gran irregularidad que presenta. En el caso de un árbol, conforme vamos tomando ramas cada vez más pequeñas, seguimos viendo un árbol a escala. Un mapa de puntos como el de la figura 3 también es un objeto fractal. Estadísticamente, el mapa de puntos del recuadro rojo en la figura 3 se parece a todo el mapa, esto es, una parte se parece al todo, que como se ha dicho anteriormente es una característica que define a los objetos fractales.

Por consiguiente, existe una gran similitud entre la disposición espacial de las galaxias en el universo, cuando son proyectadas sobre un plano, y el mapa de dolinas de un macizo kárstico. Ello se verifica en la figura 2. Se trata de un ejemplo de la llamada universalidad de los fractales, donde procesos físicos muy diferentes dan lugar a patrones espaciales parecidos. En efecto, los procesos físicos que han originado la distribución de galaxias en el universo y la distribución de dolinas en un macizo kárstico no tienen nada que ver el uno con el otro.  Sin embargo, ambos mapas de puntos son parecidos, tal y como se observa en la figura 2, por el carácter fractal de dichas estructuras. 

La relación entre galaxias y dolinas

Resulta muy interesante que el padre de los fractales, el matemático franco-americano de origen polaco Benoît Mandelbrot, propusiese una conjetura en su libro del año 1983, El carácter fractal de la naturaleza, en la que afirma que el carácter fractal de estos y otros procesos, estaría determinado por una razón subyacente que les confiere el carácter fractal y universal. ¿Cuáles serían estos procesos subyacentes para galaxias y dolinas? Para las galaxias, los físicos teóricos han formulado la hipótesis de la existencia de un entramado de filamentos de materia oscura (Figura 4A) en cuyas intersecciones se forman galaxias. Y para el caso de las dolinas, su distribución espacial está controlado por la red de fracturas de las rocas (Figura 4B), ya que en las intersecciones de fracturas y en zonas con mayor densidad de fracturas es donde tenderán a formarse las dolinas, pues son zonas de infiltración preferente del agua de lluvia y, por consiguiente, de disolución de la roca y de formación y progresivo desarrollo de una superficie cerrada, a modo de embudo, esto es, la dolina. Ciertamente se conoce que la red de fracturas tiene un carácter fractal y se puede especular con que ocurra lo mismo para el entramado de materia oscura en el universo.   

En resumen, los mapas de distribución de galaxias y de dolinas son muy parecidos y se pueden considerar como objetos fractales. Esto no es simplemente una curiosidad matemática, sino que tiene un gran interés científico y aplicado.    

Referencias

• Mandelbrot, B. 1983. The fractal geometry of nature. Freeman, San Francisco, 460 p.
• Pardo-Igúzquiza, E., Dowd, P, Durán-Valsero, J.J. and Robledo-Ardila, P., 2019. A review of fractals in karst. International Journal of Speleology, 48 (1), 11-20.
• Pardo-Igúzquiza, E., Dowd, P and Rizo-Decelis, L.D. 2019. On Sinkholes and Galaxies: An Example of Fractal Universality. Mathematical Geosciences, 52, 639-650.
• Pardo-Igúzquiza, E., Dowd, P, 2020. Fractal analysis of karst landscapes. Mathematical Geosciences, 52, 543-563.
• Pardo-Igúzquiza, E. and Dowd, P., 2021. Fractal analysis of the Martian landscape: A study of kilometre-scale topographic roughness. Icarus, 372, 114727, 1-14.

Cortesía de Muy Interesante

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