Soy matemática. Y, créanme, no puedo decirlo sin sonreír. Elegí estudiar matemáticas en la Universidad de Sevilla, allá por el siglo xx, pocas semanas antes de la caída del mundo de Berlín y es una de las mejores decisiones que he tomado en mi vida. En honor de la verdad, fue Antonio Hurtado, mi profesor de filosofía en el instituto de mi pueblo (Coria del Río) el que me aconsejó elegir esta titulación y, por mucho que viva, nunca encontraré las palabras justas y necesarias para agradecérselo.
Si hacen la cuenta, se darán ídem de que soy matemática desde hace casi treinta años. Es por eso que, en tanto tiempo, he tenido que escuchar (y responder) una cantidad nada despreciable de veces preguntas como ¿todavía queda algo por descubrir en matemáticas? ¿Las matemáticas se crean o se descubren? Responder a la segunda pregunta nos llevaría a un debate filosófico demasiado largo y profundo para un solo artículo de una revista, Pero, en pocas palabras, suelo responder con «un poco de cada cosa». Hay matemáticas que se crearon como parte de un proceso deductivo lógico y que luego fueron aplicadas con éxito a explicar la naturaleza, como las geometrías no euclídeas, y matemáticas que se descubren mirándole a los ojos a nuestro universo.
En este artículo, queremos hablar un poco de estas últimas. Quiero presentarles un objeto geométrico, no descrito hasta ahora, que descubrimos, allá por 2018, mirando no a los ojos sino a las glándulas salivales de la mosca de la fruta. Con esto de paso respondemos también a la primera pregunta: sí, quedan muchísimas cosas que descubrir en matemáticas porque, y esto es maravilloso, cada vez que encontramos la respuesta a un problema, en general, aparece un ramillete maravilloso de nuevas preguntas.
La morfogénesis
Toda esta historia comenzó cuando Luisma Escudero, del Departamento de Biología Celular de la Universidad de Sevilla, contactó con Alberto Márquez y conmigo misma para pedirnos colaboración en un trabajo de morfogénesis que está llevando a cabo con su grupo de investigación (la morfogénesis es el proceso biológico que permite que un organismo vivo desarrolle su forma). Ellos querían describir cómo se empaquetaban las células epiteliales, que son células tridimensionales, y que son, cito textualmente a Luisma, «los bloques de construcción con los que se forma un organismo». Son como «piezas de Tente o Lego de las que están hechos los animales». No es que su grupo hubiera tenido la feliz idea de plantearse por primera vez esa cuestión sino que, hasta la fecha, se aceptaba que los epitelios se ‘construían’ empaquetando prismas o pirámides truncadas, como se muestran en la figura 1.
Pero a nuestros colegas biólogos, tras examinar las muestras de células epiteliales de la glándulas salivales de la mosca de la fruta no les convencía esta hipótesis mundialmente aceptada. Bueno, al menos en los foros de biología celular.
Y tenían razón. Había entonces que decidir qué figura geométrica tridimensional es la que adoptaban las células epiteliales para dar forma a los órganos. Y aquí entra en juego una estructura matemática tan intuitiva como bella y elegante que son los diagramas de Voronoi.
Así que antes de seguir con los epitelios de las moscas permítanme que les explique qué es un diagrama de Voronoi. No se asusten, es un concepto tan intuitivo, como ya he dicho, que lo puede entender hasta un niño de 3 años. O así al menos lo pensé yo el día que me tocó ir a la clase de mi hijo cuando tenía esa edad a explicar en qué trabajaba. Piensen que tienen en un plano, en una hoja de papel, por ejemplo, un conjunto de puntos dibujados (estos puntos podrían ser, por ejemplo, las farmacias de su ciudad señaladas sobre un plano). Pues bien, el diagrama de Voronoi de ese conjunto de puntos (de las farmacias) es una división del papel (del plano) en regiones de manera que a cada punto le asigna la región del papel cuyos puntos están más cerca de él que de ningún otro.
Dicho para el ejemplo de las farmacias, el diagrama de Voronoi de las farmacias de la ciudad dividiría el plano de la misma en regiones de influencia de dichos establecimientos, de tal forma que a cada farmacia le asignaría la zona de la ciudad para la que ella es la más cercana. En la figura 2 vemos la pinta que tiene, más o menos, un diagrama de Voronoi.
Si piensan que en la figura anterior los puntos azules son farmacias de su ciudad, solo tienen que identificar en qué celda (polígono) de Voronoi está su casa para elegir la farmacia más cercana, como en la figura 3.
En la naturaleza
A los niños de la clase de Salvador se lo expliqué con los Lunnis y caramelos. Se iban a lanzar caramelos en el patio del colegio de los Lunnis y cada uno de ellos solo podrían coger los que estuviesen más cerca de él que de ningún otro. Para ello, antes de lanzar los caramelos, pintábamos en el suelo el diagrama de Voronoi de los Lunnis, como se ve en la figura 4, para que no hubiese broncas.
Como el concepto que «da forma» a los diagramas de Voronoi es la cercanía, la menor distancia, o la zona de influencia de los puntos, resulta muy fácil encontrar estos diagramas en la naturaleza, por ejemplo, en las manchas de una jirafa.
Ya sabemos qué es un diagrama de Voronoi, matemáticamente hablando: la división en zonas de influencia en presencia de unos puntos generadores (ya sean farmacias o Lunnis). Con esta idea en la cabeza podemos intuir que, dado un conjunto de puntos en el plano, si hacemos crecer unos círculos al mismo ritmo tomando dichos puntos fijos como centro de dichos círculos, también se obtiene el diagrama de Voronoi. Esto queda ilustrado en la figura 5 en la que se representan los círculos creciendo como conos con la misma apertura y vértices en los puntos a los que queremos calcular el diagrama de Voronoi.
Ahora miramos desde arriba y fíjense qué cosa tan bonita: hemos construido el diagrama de Voronoi, como podemos ver en la figura 6.
Volvemos a las células pero no a las epiteliales todavía, sino a células planas, en 2D. Es lógico pensar que así se empaquetan o se agrupan las células en los tejidos planos. Porque todas crecen con «la misma fuerza» desde el centro de masa de la misma. Y así es. De hecho, esta idea ya fue aprovechada por el propio Luisma Escudero y algunos colaboradores para desarrollar un modelo del empaquetamiento de las células en 2D que puede servir para revolucionar el diagnóstico automatizado de ciertas formaciones tumorales.
Estructuras tridimensionales
Esto fue para células o tejidos en dos dimensiones pero las células epiteliales, como hemos dicho, son células tridimensionales. Pues bien, dar el paso a estructuras tridimensionales no es, ni mucho menos, trivial. Podríamos pensar que para pasar a tres dimensiones, bastaría con calcular un diagrama de Voronoi 3D, que se puede, y que es una estructura bien bonita también, pero que no se parece en nada a la organización que vemos en los tejidos epiteliales. Estos, los tejidos epiteliales, son como una capa gordita delimitada por dos superficies paralelas (denominadas superficies basal y apical) y de tal forma las mismas células que aparecen en la basal se ven la apical. Podemos pensar, solo para hacernos una idea, en que el epitelio es una rebanada gordita de pan de molde, como las de las torrijas, a la cara de arriba la llamamos cara apical y a la de abajo cara basal. No sirve para todos los epitelios porque en algunos la rebanada se enrolla en forma de cilindro hueco pero creo que puede ayudar a entender la idea. Pues bien, cada célula que vemos «dibujada» en la cara apical aparecerá también en la basal.
Ello había llevado, hasta el momento, a representar las células de tejidos epiteliales como prismas con una base en la superficie basal y otra en la apical. Como si las células fuesen muchas «cajitas» apiñadas que formaban la rebanada y las células que se veían en las capas exteriores fuesen las tapas de esas cajitas alargadas.
Pero no, para nuestra fortuna, ese modelo no se corresponde a la organización de las células en los tejidos epiteliales cuando lo miramos al microscopio. Se puede comprobar que hay células (que nos parecerán celdas de Voronoi al mirarlas) que son vecinas, por ejemplo en la capa apical, las de la cara de arriba, que dejan de serlo en la capa basal, la de abajo. Si las células fuesen prismas o pirámides truncadas esto es imposible. Tenemos que pensar que el polígono (la celda de Voronoi) que vemos en la parte de arriba de la rebanada y el que vemos abajo deberían ser las «tapas» del prisma. Pero si han cambiado su posición relativa de una capa a otra es porque el prisma se ha «retorcido» por el camino. Y ahí está el problema. Desde el punto de vista geométrico los prismas (o pirámides truncadas) no modelan bien el problema; desde el punto de vista de la biología celular, necesitamos saber qué células están en contacto en cada punto. En la imagen de abajo (figura 7), correspondiente a un epitelio cilíndrico, observamos que las células amarilla y azul son vecinas en la capa apical pero han dejado de serlo en la capa basal, ‘alguien’ se interpuso entre ellas.
Hallamos la respuesta
Se hacía necesaria, por lo tanto, una forma geométrica que modele bien las células de los tejidos epiteliales, que se pueda plegar y adoptar distintas curvaturas, cuya forma corresponda a un modelo de equilibrio de fuerzas y que vaya desde la superficie basal hasta la apical, pero sin tener que tener los mismos contactos en ambas superficies.
La solución a todo ello es el escutoide. Déjenme que ponga aquí mi figura favorita del artículo, la figura 8; los escutoides hechos con plastilina por la hija de Luisma Escudero, Margarita. ¿Por qué escutoides? Por cierto, le llamamos escutoides porque fue él, Luisma Escudero, el primero en clamar que las células epiteliales no eran prismas y en hacerlos con la plastilina de Margarita: de Escudero llegamos a escu-toide. Cuando vimos que salía algo muy publicable buscamos una justificación más formal que esta y, bueno, se parece al scutum del tórax de los escarabajos de la especie Protaetia speciosa (figura 9).
El escutoide, técnicamente, se obtiene a partir de segmentos perpendiculares a todas las capas comprendidas entre la capa apical (la de arriba) y la capa basal (la de abajo). Para ello, se eligen un conjunto de puntos (semillas) en la capa apical, por ejemplo. Se trazan los segmentos perpendiculares a la capa apical en cada uno de estas semillas. En cada capa comprendida entre la apical y la basal, cada segmento producirá una intersección (una nueva semilla); a estas semillas nuevas les calculamos diagramas de Voronoi en dicha capa (de forma similar a como se hace en el plano). Pues bien, «pegando» las regiones de Voronoi (que serán polígonos) correspondientes a todos los puntos de un mismo segmento se obtiene un escutoide.
¿Cómo definirlo?
Si lo que buscamos es una descripción más simple podemos decir que un escutoide es un sólido geométrico entre dos capas paralelas (la basal y la apical) de tal forma que la intersección del escutoide en cada una de las dos capas (y en el resto de las capas intermedias también) son polígonos (lo que serían las «tapas» del escutoide). Los vértices de estos dos polígonos están unidos por una curva o por una conexión en forma de Y. Las caras de los escutoides no son necesariamente convexas, pueden tener huecos hacía dentro, por lo que varios escutoides pueden empaquetarse para llenar todo el espacio entre las dos superficies paralelas, como vemos en la imagen bajo estas líneas (figura 10).
¿Y todo esto para qué? ¿Por qué se complica tanto la Naturaleza? La respuesta a estas preguntas viene de la mano del físico del equipo, Javier Buceta, del Instituto de Biología Integrativa de Sistemas (CSIC) Según el análisis de Buceta, la forma del escutoide es consistente con las fuerzas involucradas y se alcanza con ella una posición de equilibrio. Dicho de otra forma, esta estructura, el escutoide, es más favorable para el tejido desde el punto de vista energético y esto es importante porque facilita adoptar formas muy diferentes, que es lo necesario para que se establezcan bien los órganos y funcionen correctamente.
Conocer con este nivel de detalle la estructura de las células epiteliales puede ser fundamental para la creación de órganos con impresión 3D y nos permitirá identificar modelos de epitelios sanos, a partir de su geometría, que servirán como patrones para detectar un crecimiento celular anómalo.
Está mal que lo diga, yo que soy una de las autoras, pero el trabajo me parece tan bello como interesante, una mezcla maravillosa y elegante de disciplinas (biología celular, física y matemáticas) y quién sabe, si una puerta abierta a nuevos avance en biomedicina.
Dicho esto, si cierran las ojos, pueden llegar a sentir (si se concentran lo suficiente) como muchos de sus tejidos epiteliales, están llenos de escutoides que les dan forma y, como dice el título de este artículo, les adornan.
Cortesía de Muy Interesante
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